martes, 28 de junio de 2016

¿Como determinar que una función es sobreyectiva?

                                       INTRODUCCIÓN:


Hoy traemos un tema matemático relacionado a las clases vistas anteriormente.
Existen tres tipos de funciones dentro de la rama de matemáticas, estas son la función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva, las funciones se utilizan para modelar expresiones de situaciones, como determinar posiciones o calcular cosas. Cotidianamente se pueden representar las funciones en problemas de finanzas, estadísticas, economía, ingeniería, etc.
En este caso daremos a conocer las diferentes características de la función sobreyectiva o también llamada epiyectiva.

Nuestro objetivo es dar información complementaria para un mejor entendimiento de esta función y así poder utilizarla de forma correcta, y ayudar a estudiantes que no entiendan esta materia.

Se eligió la sobreyectiva porque no es un tema tan complejo de entender, esperamos que les sea de utilidad y que no les sea tan complejo de entender.


Función Sobreyectiva


Una función es sobreyectiva cuando, cada uno de los elementos del rango es imagen de uno o varios elementos de dominio, es decir, cuando cada elemento de “Y” es la imagen de mínimo un elemento de “X”. Para que no sea tan complejo de entender, cada conjunto o elemento de partida tiene que cubrir a los elementos del codominio o conjunto de llegada.
Cada valor tiene que tener su pareja respectiva en el conjunto de llegada para que sea una función sobreyectiva.


Como se puede apreciar en el ejemplo de la foto, todos los valores de A tienen que tener un valor en B, no puede quedar ningún elemento sin pareja sino no se daría la sobreyectividad.(explicado con peras y manzanas)

¿Cómo determinar que una función es Sobreyectiva?

Para determinar si una función es sobreyectiva o no, se debe de tener en claro la definición de las demás funciones, más bien, saber en qué se diferencian.  

Función Inyectiva: Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen.

Función Sobreyectiva: Una función "f(x)" es sobreyectiva para cada uno de los elementos del rango, es la imagen, de "por lo menos", un elemento del dominio de dicha función.

Función Biyectiva: Una función f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.


Teniendo en claro la diferencias entre las funciones podemos responder a la pregunta planteada anteriormente.

Para verificar si alguna función es sobreyectiva, se tiene que verificar que el codominio o conjunto de llegada, tenga los mismos valores del rango de la imagen predispuesta.

A continuación les mostraremos múltiples ejemplos con los cuales se hará aún más fácil entender esta función:


Ejemplo 1:

Determinar si:  f(x) = 3x + 2 , es sobreyectiva:

• Hacemos  f(x) = y

⇒ y = 3x + 2

Despejamos "x":

⇒ x = (y - 2)/3

Luego, para que f(x) sea sobreyectiva, debe cumplirse que:

f(x) = f [ (y - 2)/3 ] =  y
  
⇒  3(y - 2)/3 + 2 = y

⇒  y - 2 + 2 = y

⇒ y = y  ✓
Por lo tanto:  f(x) es sobreyectiva

Ejemplo 2:

Determinar si:  f(x) = 2x+1, es sobreyectiva:

• Hacemos  f(x) = y

⇒ y = 2x + 1

Despejamos "x":

⇒ x = (y - 1)/2

Luego, para que f (x) sea sobreyectiva, debe cumplirse que:

f(x) = f [ (y - 1)/2 ] =  y
  
⇒  2(y - 1)/2 + 1= y

⇒  y - 1 + 1 = y

⇒ y = y  ✓
Por lo tanto:  f(x) es sobreyectiva


Ejemplo 3:

Determinar si:  f(x) = 4x+2, es sobreyectiva:

• Hacemos  f(x) = y

⇒ y = 4x + 2

Despejamos "x":

⇒ x = (y - 2)/4

Luego, para que f(x) sea sobreyectiva, debe cumplirse que:

f(x) = f [ (y - 2)/4 ] =  y
  
⇒  4(y - 2)/4 + 2= y

⇒  y - 2 + 2 = y

⇒ y = y  ✓
Por lo tanto:  f(x) es sobreyectiva.





Ejemplo 4:









Ejemplo 5:





      FUNCIÓN SOBREYECTIVA  FUNCIÓN NO SOBREYECTIVA



EJEMPLO 6:

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.




Rec f = { f (x) / x es real} = { x + 1 / x es real} = R

Siendo R los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la función es sobreyectiva.




EJEMPLO 7:

Función f(x) = x2-1, siendo el conjunto inicial X y el final Y los números reales.



Rec f = { f (x) / x es real } = { x^2 - 1 / x es real } = { x > -1 / x es R }


El recorrido de la función son los números reales mayores que -1, por lo que no coincide con el conjunto final Y.
La Función no es sobreyectiva.



EJEMPLOS EN LA VIDA COTIDIANA


Las funciones son muy importantes en el ámbito matemático debido a que se puede aplicar en las numerosas situaciones que se plantean en el día a día, es decir, en la vida cotidiana.
Estas se pueden plantear tanto en Matemáticas como también en Física, Economía, etc. y así poder calcular el valor de cada una de ellas en función de otras de las que depende.

EJEMPLO 1:

Imaginemos que estamos en un almacén en el cual hay múltiples productos, cada producto posee un único código de barra.
Nuestro conjunto de partida serán los productos y los conjuntos de llegada serán los códigos de barra.
¿Que quiere decir esto?
Que para todo producto existe únicamente un código de barra.




EJEMPLO 2:

Cada persona de cualquiera sea el país posee una cédula de identidad, en el caso de Chile es un documento oficial que acredite la identidad de una persona chilena.

Nuestro conjunto de partida serán las personas y los conjuntos de llegada serán sus cédulas de identidad.

Cada cédula de identidad tiene un portador al menos, por tanto, es una función sobreyectiva.


CONCLUSIÓN

Tras la finalización de este artículo. podemos concluir que la función sobreyectiva, a diferencia de las otras, comparten la misma imagen de un mismo punto de partida, es decir, la imagen coincide con el conjunto final.

Cumplimos con el objetivo planteado al principio en la introducción de entregar la información para entender de forma correcta esta función además de determinar que una función sea epiyectiva, ya que, con su explicación y variados ejemplos pudimos darlo a entender.  

Para cualquier duda, solamente consulte acerca de este tema y se le responderá.
Gracias por ver y visitar el blog, esto nos sirve de gran ayuda, si te ha gustado ver este tipo de materia por favor, compártelo, síguenos en nuestras redes sociales y difundelo, esos nos ayudaría mucho.

Te han hablado dos alumnos del DP, muchas gracias.


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